Question

在锐角△ABC中，三个内角A、B、C所对的边依次为a、b、c．设向量

m

=（cosA，sinA），

n

=（cosA，-sinA），a=2

3

，且

m

•

n

=-

1

2

．
（1）若b=2，求△ABC的面积；
（2）求b+c的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角形的面积公式,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）锐角△ABC中，由

m

•

n

=-

1

2

，求得A=

π

3

．根据a=2

3

，利用正弦定理求得R=2，可得sinB=

2

2

，B=

π

4

，从而求得sinC=sin（A+B） 的值，可得△ABC的面积为

1

2

•ab•sinC 的值．
（2）由a²=12=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc，可得（b+c）²≤48，从而求得b+c的最大值．

解答： 解：（1）锐角△ABC中，由题意可得

m

•

n

=cos²A-sin²A=cos2A=-

1

2

，∴2A=

2π

3

，∴A=

π

3

．
根据a=2

3

，利用正弦定理可得

a

sinA

=2R（R为△ABC外接圆的半径），即2R=

2 3

3 2

，∴R=2．
再根据b=2=2RsinB，可得sinB=

2

2

，∴B=

π

4

，∴sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

6 + 2

4

．
∴△ABC的面积为

1

2

•ab•sinC=

1

2

×2

3

×2×

6 + 2

4

=3+

3

．
（2）由a²=12=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc，可得（b+c）²=12+3bc≤12+3(

b+c

2

)2，即（b+c）²≤48，当且仅当b=c时，取等号，
故b+c的最大值为4

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，属于基础题．