Question

已知x∈R，a∈R且a≠0，向量

OA

=（acos²x，1），

OB

=（2，

3

asin2x-a），f（x）=

OA

•

OB

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求当a＞0时，f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为5，求a的值．
（Ⅲ）当a=1时，若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[0，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,平面向量数量积的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）化简f（x）=2asin（2x+

π

6

），求单调区间；（Ⅱ）讨论a的正负，确定最大值，求a；（Ⅲ）化简不等式，转化恒成立问题为函数的最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

OA

•

OB

=2acos²x+

3

asin2x-a
=2asin（2x+

π

6

），
∵a＞0，
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（Ⅱ）f（x）=2asin（2x+

π

6

），
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]；
若a＞0，2a=5，则a=

5

2

；
若a＜0，-a=5，则a=-5；
综上所述，a=-5或a=

5

2

．
（Ⅲ）∵|f（x）-m|＜2在x∈[0，

π

2

]上恒成立，
∴f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[0，

π

2

]上恒成立，
∴f（x）_max-2＜m＜f（x）_min+2，x∈[0，

π

2

]
∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）在[0，

π

2

]上的最大值为2，最小值为-1．
∴0＜m＜1．
即实数m的取值范围为（0，1）．

点评：本题考查了平面向量的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性很强，属于难题．