Question

已知函数f（x）=

3

（sin²x-cos²x）+2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设x∈[-

π

3

，

π

3

]，求f（x）的值域和单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω=2，可得f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-

π

3

，

π

3

]时，-π≤2x-

π

3

≤

π

3

，结合正弦函数的图象和性质可得f（x）的值域，由y=sin(2x-

π

3

)递增时，-

π

2

≤2x-

π

3

≤

π

3

，可得f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=-

3

(cos2x-sin2x)+2sinxcosx=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)…（3分），
∴ω=2，
∴f（x）的最小正周期为π．               …（5分）
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

， 

π

3

]，
∴-π≤2x-

π

3

≤

π

3

，
∴-1≤sin(2x-

π

3

)≤

3

2

．
∴f（x）的值域为[-2， 

3

]．       　                 　 …（8分）
当y=sin(2x-

π

3

)递增时，
-

π

2

≤2x-

π

3

≤

π

3

，
即-

π

12

≤x≤

π

3

．
故f（x）的递增区间为[-

π

12

，

π

3

]．           　        …（12分）

点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及单调性，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．