题目内容
如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．
考点：相似三角形的判定
专题：立体几何
分析：（1）由∠DEC=90°，可得∠AED+∠BEC=90°，又由∠AED+∠ADE=90°，可得∠BEC=∠ADE，即可证明；
（2）结论：△BEC的周长与m值无关．利用相似三角形的性质、勾股定理即可得出．
（2）结论：△BEC的周长与m值无关．利用相似三角形的性质、勾股定理即可得出．
解答：
（1）证明：∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，
又∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEC=∠ADE，而∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEC．
（2）解：结论：△BEC的周长与m无关．
在△EBC中，由AE=m，AB=a，得BE=a-m，设AD=x，
∵△ADE∽△BEC，∴
=
=
，即：
=
=
，
解得：BC=
，EC=
．
∴△BEC的周长=BE+BC+EC=（a-m）+
+
=（a-m）(1+
+
)=
①
∵AD=x，由已知AD+DE=AB=a得DE=a-x，又AE=m
在Rt△AED中，由勾股定理得：x2+m2=（a-x）2，
化简整理得：a2-m2=2ax ②
把②式代入①，得△BEC的周长=BE+BC+EC=
=2a，
∴△BEC的周长与m无关．
又∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEC=∠ADE，而∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEC．
（2）解：结论：△BEC的周长与m无关．
在△EBC中，由AE=m，AB=a，得BE=a-m，设AD=x，
∵△ADE∽△BEC，∴
| AD |
| BE |
| AE |
| BC |
| DE |
| EC |
| x |
| a-m |
| m |
| BC |
| a-x |
| EC |
解得：BC=
| (a-m)m |
| x |
| (a-m)(a-x) |
| x |
∴△BEC的周长=BE+BC+EC=（a-m）+
| (a-m)m |
| x |
| (a-m)(a-x) |
| x |
| m |
| x |
| a-x |
| x |
| a2-m2 |
| x |
∵AD=x，由已知AD+DE=AB=a得DE=a-x，又AE=m
在Rt△AED中，由勾股定理得：x2+m2=（a-x）2，
化简整理得：a2-m2=2ax ②
把②式代入①，得△BEC的周长=BE+BC+EC=
| 2ax |
| x |
∴△BEC的周长与m无关．
点评：本题考查了相似三角形的性质、勾股定理、互余角之间的关系、三角形的周长，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是（ ）
| A、异面 | B、平行 |
| C、相交 | D、可能共面，也可能异面 |