题目内容
已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
考点：数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：本题（1）利用数列的通项公式与前n项和公式，得到首项和公比、公差的方程，求出数列的首项公比和公差，得到数列的通项；（2）本小题是一个等差与等比的积形成的数列，可以利用错位相减法求和．
解答：
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，S4=8+6d．…（3分）
由条件a4+b4=21，S4+b4=30，得方程组
解得
所以an=n+1，bn=2n，n∈N*．
（2）由题意知，cn=（n+1）×2n．
记Tn=c1+c2+c3+…+cn．
则Tn=c1+c2+c3+…+cn
=2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1+（n+1）×2n，
2 Tn=2×22+3×23+…+（n-1）×2n-1+n×2n+（n+1）2n+1，
所以-Tn=2×2+（22+23+…+2n）-（n+1）×2n+1，
即Tn=n•2n+1，n∈N*．
由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，S4=8+6d．…（3分）
由条件a4+b4=21，S4+b4=30，得方程组
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所以an=n+1，bn=2n，n∈N*．
（2）由题意知，cn=（n+1）×2n．
记Tn=c1+c2+c3+…+cn．
则Tn=c1+c2+c3+…+cn
=2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1+（n+1）×2n，
2 Tn=2×22+3×23+…+（n-1）×2n-1+n×2n+（n+1）2n+1，
所以-Tn=2×2+（22+23+…+2n）-（n+1）×2n+1，
即Tn=n•2n+1，n∈N*．
点评：本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式，以及错位相减法求和，有一定的综合性，计算量也较大，属于中档题．
练习册系列答案
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