Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-3，-2]上是减函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα）与f（cosβ）的大小关系是（　　）

• A、f（sinα）＞f（cosβ）
• B、f（sinα）＜f（cosβ）
• C、f（sinα）=f（cosβ）
• D、f（sinα）与f（cosβ）的大小关系不确定

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由条件f（x+1）=-f（x），得到f（x）是周期为2的周期函数，由f（x）是定义在R上的偶函数，在[-3，-2]上是减函数，得到f（x）在[2，3]上是增函数，在[0，1]上是增函数，再由α，β是锐角三角形的两个内角，得到α＞90°-β，且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，从而得到f（sinα）＞f（cosβ）．

解答： 解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），f（x）是周期为2的周期函数．
∵y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），
∵f（x）在[-3，-2]上是减函数，
∴在[2，3]上是增函数，∴在[0，1]上是增函数，
∵α，β是锐角三角形的两个内角．
∴α+β＞90°，α＞90°-β，两边同取正弦得：sinα＞sin（90°-β）=cosβ，且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，
∴f（sinα）＞f（cosβ），
故选：A．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，三角函数的图象和性质，综合考查了函数的奇偶性、周期性和单调性的应用，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．