Question

已知函数f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R，求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：解析式含有绝对值，分类讨论，利用对a的讨论把解析式具体化，利用二次函数性质求出定义域下的值域即可．

解答： 解：当x≤a时，f（x）=（x-

1

2

）²+a+

3

4

．
a＜

1

2

，函数f（x）在（-∞，a]上单调递减．
从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1；
a≥

1

2

时，函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（

1

2

）=

3

4

+a，且f（

1

2

）≤f（a）；
当x≥a时，函数f（x）=（x+

1

2

）²-a+

3

4

．
a≤-

1

2

时，函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（-

1

2

）=

3

4

-a，且f（-

1

2

）≤f（a）；
a＞-

1

2

，函数f（x）在[a，+∞）上单调递减，
从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a²+1．
综上得，a≤-

1

2

时，函数f（x）的最小值为

3

4

-a；当-

1

2

≤a≤

1

2

时，函数f（x）的最小值为a²+1；a≥

1

2

时，函数f（x）的最小值为

3

4

+a．

点评：此题考查了学生分类讨论的思想，还考查了绝对值函数的对绝对值的讨论及二次函数在定义域下求值域．