Question

已知数列{b_n}满足b_n+1=

1

2

b_n+

1

4

，且b₁=

7

2

，T_n为{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求证：数列{b_n-

1

2

}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果对任意n∈N^*，不等式

2Tn+3•22n-1-10

k

≤n²+4n+5恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得bn+1-

1

2

=

1

2

(bn-

1

2

)，由此证明{bn-

1

2

}成等比数列，并求出bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

．
（Ⅱ）由bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

，利用分组求和法得到T_n=6(1-

1

2n

)+

n

2

，由此利用已知条件得到k≥

n+2

n2+4n+5

对任意n∈N^*恒成立，从而能求出实数k的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：对任意n∈N^*，都有bn+1=

1

2

bn+

1

4

，
∴bn+1-

1

2

=

1

2

(bn-

1

2

)，
∴{bn-

1

2

}成等比数列，
首项为b1-

1

2

=3，公比为

1

2

，
∴bn-

1

2

=3×(

1

2

)n-1，
∴bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

．
（Ⅱ）解：∵bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

，
∴Tn=3(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)+

n

2

=

3(1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2

=6(1-

1

2n

)+

n

2

，
∵对任意n∈N^*，不等式

2Tn+3•22n-1-10

k

≤n²+4n+5恒成立，
∴k≥

n+2

n2+4n+5

对任意n∈N^*恒成立，
又

n+2

n2+4n+5

=

1

n+2+ 1 n+2

≤

10

3

，
∴k≥

3

10

．

点评：本题考查考查等比数列的证明，考查等比数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．