Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=n（n+1），正项数列{b_n}满足b_n+2=

bn+12

bn

，且b₁b₃=4，b₄=8．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项；
（2）数列{c_n}满足c_n=

S2n

4bn

，若c₁c₂…c_n取得最大值时，求n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=n（n+1），易求数列{a_n}的通项；{b_n}满足b_n+2=

bn+12

bn

⇒{b_n}是等比数列，设其公比为q，且q＞0，依题意，可求得b₁=1，q=2，从而可得其通项；
（2）c_n=

S2n

4bn

=

n(2n+1)

2n

＞0，要使c₁c₂…c_n取得最大值，只需求c_n不小于1时的最大n值，作差可得c_n+1-c_n=

(n+1)(2n+3)

2n+1

-

n(2n+1)

2n

=

-2n2+3n+3

2n

，讨论分析即可求得n的最大值．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2，…1分
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
知a₁=2满足该式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n…3分
∵{b_n}满足b_n+2=

bn+12

bn

，∴{b_n}是等比数列，设其公比为q，且q＞0…4分
∴

b1q3=8 b12q2=4

，解得b₁=1，q=2，∴b_n=2^n-1…7分
（2）c_n=

S2n

4bn

=

n(2n+1)

2n

＞0，要使c₁c₂…c_n取得最大值，只需求c_n不小于1时的最大n值…9分
∵c_n+1-c_n=

(n+1)(2n+3)

2n+1

-

n(2n+1)

2n

=

-2n2+3n+3

2n

，…11分
当n=1，2时，c_n+1＞c_n，当n≥3时，c_n+1＜c_n，…12分
即c₁＜c₂＜c₃＞c₄＞c₅＞…13分
∵c₁=

3

2

＞1，c₄=

9

4

，c₅=

55

32

＞1，c₆=

39

32

＞1，c₇=

105

128

＜1，…14分
∴由数列{c_n}的单调性可知，{c_n}的前6项大于1，从第7项开始小于1，
∴c₁c₂…c_n取得最大值时，n的值为6…15分

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，考查作差分析与判定的综合应用能力，属于难题．