Question

设函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x
（1）求函数的单调区间；
（2）对于两个函数y=h（x）和y=r（x）及区间[m，n]，若存在x₁∈[m，n]，x₂∈[m，n]使得|h（x₁）-r（x₂）|＜1成立，则称区间是函数y=h（x）和y=r（x）的“非疏远区间”，a＞0，g（x）=x²+ax+a²-a+7，若区间[0，4]是函数y=f（x）和y=g（x）的“非疏远区间”，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求导函数，利用x=3是函数f（x）的极值点，可得-（a+1）≠3即a≠-4，进而分a＞-4与a＜-4，分类讨论，研究函数的单调性；
（2）分别求出g_min（x）与f_max（x），再将问题等价转化为：若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1，只要g_min（x）-f_max（x）＜1即可，从而解不等式，即可求出a的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=（2x+a）e^3-x+（x²+ax-2a-3）（-1）e^3-x
=[-x²+（2-a）x+3a+3]e^3-x=-[x²+（a-2）x-3（a+1）]e^3-x
=-（x-3）[x+（a+1）]e^3-x…（3分）
∵x=3是函数f（x）的极值点
∴-（a+1）≠3即a≠-4
（i）当-（a+1）＜3即a＞-4时
当x∈（-∞，-a-1]和[3，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
当x∈（-a-1，3）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（5分）
（ii）当-（a+1）＞3即a＜-4时
当x∈（-∞，3]和[-a-1，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
当x∈（3，-a-1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（7分）
（2）∵a＞0，∴-（a+1）＜0
∴当x∈[0，3]时f（x）单调递增，当x∈[3，4]时f（x）单调递减
∴当x∈[0，4]时，f_max（x）=f（3）=a+6，
∵g′（x）=2x+2a，
∴g（x）在x∈[0，4]时是增函数，
∴g_min（x）=g（0）=a²-a+7，
又∵a²-a+7-a-6=（a-1）²≥0，
∴g_min（x）≥f_max（x），
∴当x∈[0，4]时，g（x）≥f（x）恒成立．
∴若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1
只要g_min（x）-f_max（x）＜1即可，
即a²-2a+1＜1，解得：0＜a＜2，
∴a的范围是（0，2）．

点评：本题以函数的极值为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，同时考查学生分析解决问题的能力