Question

如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，点E为线段AB上异于A，B的点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如图2．
（Ⅰ）求证：AB∥平面DFC；
（Ⅱ）当三棱锥F-ABE体积最大时，求平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明BE∥平面DFC、AE∥平面DFC，可得平面ABE∥平面DFC，即可证明AB∥平面DFC；
（Ⅱ）建立坐标系，利用三棱锥F-ABE体积最大时，确定点的坐标，可得向量的坐标，求出平面CBA的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵BE∥CF，BE?平面DFC，CF?平面DFC，
∴BE∥平面DFC，
同理AE∥平面DFC，
∵BE∩AE=E，
∴平面ABE∥平面DFC，
∵AB?平面ABE，
∴AB∥平面DFC；
（Ⅱ）解：∵平面EBCF⊥平面AEFD，CF⊥EF，平面EBCF∩平面AEFD=EF，
∴CF⊥平面AEFD，
建立如图所示的坐标系，设AE=x，则EB=2-x，
∴V_F-ABE=

1

3

•

1

2

x（2-x）•2=-

1

3

（x-1）²+

1

3

．
∴x=1时，三棱锥F-ABE体积最大，
∴A（2，1，0），B（2，0，1），C（0，0，3），
∴

CB

=（2，0，-2），

CA

=（2，1，-3），
设平面CBA的法向量为

m

=（x，y，z），则

x-z=0 2x+y-3z=0

，
∴

m

=（1，1，1），
∵平面AEFDA的一个法向量为

FC

=（0，0，2），
∴cos＜

m

，

FE

＞=

2

3 ×2

=

3

3

，
∴平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值是

3

3

．

点评：本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键．