Question

已知数列{a_n}为公差不为0的等差数列，a₅和a₇的等差中项为6，且a₂，a₄，a₈成等比数列，令b_n=

1

an•an+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求a_n及T_n；
（Ⅱ）若T_n≤λa_n+1，对?n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，求出首项和公差，由此求出a_n=n．由bn=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用错位相减法能求出Tn=

n

n+1

．
（Ⅱ）由已知条件得λ≥

n

(n+1)2

=

1

n+ 1 n +2

，由此能求出λ的最小值为

1

4

．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差数列，设公差为d，
则由题意得

a5+a7=12 a2a8=a42

，即

2a1+10d=10 (a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2

，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
由bn=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
得Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，
（Ⅱ）∵T_n≤λa_n+1，?n∈N^*，即

n

n+1

≤λ(n+1)恒成立，
∴λ≥

n

(n+1)2

=

1

n+ 1 n +2

，
∵n+

1

n

≥2

n• 1 n

=2，
∴λ≥

1

4

，即λ的最小值为

1

4

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．