Question

如图，若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，高为4，则异面直线BD₁与AD所成角的正弦值是

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：根据正四棱柱的几何特征，我们易根据AD∥BC，得到∠D₁BC即为异面直线BD₁与AD所成角，根据已知中正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，高为4，求出△D₁BC中各边的长，解△D₁BC即可得到答案．

解答： 解：∵AD∥BC
∴∠D₁BC即为异面直线BD₁与AD所成角，

连接D₁C，在△D₁BC中，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，高为4，
∴D₁B=2

6

，BC=2，D₁C=2

5

∴sin∠D₁BC=

D1C

D1B

=

2 5

2 6

=

30

6

，
故异面直线BD₁与AD所成角的正弦值是

30

6

，
故答案为：

30

6

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据已知条件确定找到两条异面直线夹角是解答本题的关键．