题目内容
甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，分别倒入对方容器搅匀，这称为是一次调和，记a1=10%，b1=20%，经（n-1）次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为an，bn．
（1）试用an-1，bn-1表示an和bn；
（2）求证：数列{an-bn}是等比数列；
（3）求出{an}，{bn}的通项公式．
（1）试用an-1，bn-1表示an和bn；
（2）求证：数列{an-bn}是等比数列；
（3）求出{an}，{bn}的通项公式．
考点：等差数列与等比数列的综合,等比关系的确定
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）从甲（浓度：an-1）中取出100ml溶液，100ml溶液中含溶质100an-1，剩下的400ml溶液中含溶质400an-1，从乙（浓度：bn-1）中取出100ml溶液，100ml溶液中含溶质100bn-1，剩下的400ml溶液中含溶质400bn-1，由此能用an-1，bn-1表示an和bn．
（2）an-bn=
（4an-1+bn-1）-
（4bn-1+an-1）=
（an-1-bn-1），由此能证明数列{an-bn}是等比数列．
（3）an-1+bn-1=a1+b1=30%，an=
（4an-1+bn-1）=
[4an-1+（30%-an-1）=15%-5%•（
）n-1，由此能求出bn=30%-an=15%+5%×（
）n-1．
（2）an-bn=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（3）an-1+bn-1=a1+b1=30%，an=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
解答：
（1）解：从甲（浓度：an-1）中取出100ml溶液，
100ml溶液中含溶质100an-1，剩下的400ml溶液中含溶质400an-1，
从乙（浓度：bn-1）中取出100ml溶液，
100ml溶液中含溶质100bn-1，
剩下的400ml溶液中含溶质400bn-1，
调和后，甲中含溶质400an-1+100bn-1，
浓度an=
（400an-1+100bn-1）=
[4a（n-1）+b（n-1）]，
乙中含溶质400bn-1+100an-1，
浓度bn=
（400bn-1+100an-1）=
[4bn-1+an-1]．
（2）证明：an-bn=
（4an-1+bn-1）-
（4bn-1+an-1）
=
（an-1-bn-1），
=
，
∴数列{an-bn}是等比数列．
（3）解：an-1+bn-1=a1+b1=30%，
an=
（4an-1+bn-1）=
[4an-1+（30%-an-1）
=
an-1+6%
=
（
an-2+6%）+6%
=…=a1（
）n-1+6%[1+
+（
）2+…+（
）n-2]
=10%×（
）n-1+6%×[1-（
）n-1]×
=10%×（
）n-1+6%×
[1-（
）n-1]
=10%×（
）n-1+6%×（
）[1-（
）n-1]
=10%×（
）n-1+15%[1-（
）n-1]
=15%+10%×（
）n-1-15%×（
）n-1
=15%-5%•（
）n-1，
∵an+bn=a1+b1=30%，
∴bn=30%-an
=15%+5%×（
）n-1．
100ml溶液中含溶质100an-1，剩下的400ml溶液中含溶质400an-1，
从乙（浓度：bn-1）中取出100ml溶液，
100ml溶液中含溶质100bn-1，
剩下的400ml溶液中含溶质400bn-1，
调和后，甲中含溶质400an-1+100bn-1，
浓度an=
| 1 |
| 500 |
| 1 |
| 5 |
乙中含溶质400bn-1+100an-1，
浓度bn=
| 1 |
| 500 |
| 1 |
| 5 |
（2）证明：an-bn=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
=
| 3 |
| 5 |
| an-bn |
| an-1-bn-1 |
| 3 |
| 5 |
∴数列{an-bn}是等比数列．
（3）解：an-1+bn-1=a1+b1=30%，
an=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
=
| 1 |
| 5 |
=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
=…=a1（
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
=10%×（
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 | ||
1-
|
=10%×（
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
=10%×（
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
=10%×（
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
=15%+10%×（
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
=15%-5%•（
| 3 |
| 5 |
∵an+bn=a1+b1=30%，
∴bn=30%-an
=15%+5%×（
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查数列的表示，考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要注意溶液知识的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（ ）
| A、14 | B、21 | C、28 | D、35 |
已知f（x）=
，则下列结论成立的是（ ）
|
| A、f（x）在x=0处连续 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正弦值是设a，b，c表示三条不同直线，α，β表示两个不同平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）
| A、b?β，c是α在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a |
| B、b?α，c?α，若c∥α，则b∥c |
| C、c⊥α，若c⊥β，则α∥β |
| D、b?β，若b⊥α，则β⊥α |
若＜
，
＞=60°，|
|=4，(
+2
)•(
-3
)=-72，则|
|=（ ）
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| A、2 | B、4 | C、6 | D、12 |