Question

已知非零向量

OA

，

OB

，

OC

满足：

OA

=α

OB

+β

OC

（α，β∈R），给出下列命题：
①若α=

3

2

，β=-

1

2

，则A、B、C三点共线；
②若α＞0，β＞0，| 

OA

|=

3

，| 

OB

 | =| 

OC

|=1，＜

OB

，

OC

＞=

2π

3

，＜

OA

，

OB

＞=

π

2

，则α+β=3；
③已知等差数列{a_n}中，a_n＞a_n+1＞0（n∈N^*），a₂=α，a₂₀₀₉=β，若A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则

1

a3

+

4

a2008

的最小值为9；
④若β≠0，且A、B、C三点共线，则A分

BC

所成的比λ一定为

α

β

．
其中你认为正确的所有命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：①，依题意，

OA

=α

OB

+β

OC

，且α+β=1，可判知A、B、C三点共线，可判断①；
②，作出图形，结合已知条件，可求得α+β=3，可判断②；
③，

OA

=α

OB

+β

OC

，A、B、C三点共线，a₂=α，a₂₀₀₉=β，可得到α+β=a₂+a₂₀₀₉=1，利用等差数列的性质可知，a₃+a₂₀₀₈=1，又a_n＞a_n+1＞0，利用乘“1”法与基本不等式可求得

1

a3

+

4

a2008

＞9，可判断③；
④，利用向量的定比分点坐标公式可求得α=

1

1+λ

，β=

λ

1+λ

，λ=

β

α

，可判断④．

解答： 解：对于①，要使A、B、C三点共线，则

AB

=t

BC

，即

OB

-

OA

=t（

OC

-

OB

），
整理得：

OA

=（1+t）

OB

-t

OC

，显然，（1+t）+（-t）=1，
∵

OA

=α

OB

+β

OC

，α=

3

2

，β=-

1

2

，满足α+β=1，
∴A、B、C三点共线，故①正确；
对于②，依题意，作图：

∵＜

OA

，

OB

＞=

π

2

，＜

OB

，

OC

＞=

2π

3

，α＞0，β＞0，

OA

=α

OB

+β

OC

，
∴＜

OA

，

OC

＞=

π

6

，
又|

OB

|=|

OC

|=1，|

OA

|=

3

，
∴在Rt△AOB中，|AB|=

( 3 )2+12

=2=|OC|，
∴

OA

=

OB

+2

OC

，即α+β=1+2=3，故②正确；
对于③，∵

OA

=α

OB

+β

OC

，a₂=α，a₂₀₀₉=β，若A、B、C三点共线，
∴α+β=a₂+a₂₀₀₉=1，（α＞0，β＞0），又数列{a_n}为等差数列，
∴a₂+a₂₀₀₉=a₃+a₂₀₀₈=1，又a_n＞a_n+1＞0，
∴

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）=1+4+

a2008

a3

+

4a3

a2008

＞5+2

4

=9，故

1

a3

+

4

a2008

无最小值，③错误；
对于④，∵A、B、C三点共线，A分

BC

所成的比λ，
∴

BA

AC

=λ，

BA

=λ

AC

，即

OA

-

OB

=λ（

OC

-

OA

），
∴（1+λ）

OA

=

OB

+λ

OC

，即

OA

=

1

1+λ

OB

+

λ

1+λ

OC

，又

OA

=α

OB

+β

OC

，β≠0，
∴α=

1

1+λ

，β=

λ

1+λ

，∴λ=

β

α

，而不是

α

β

，故④错误．
故答案为：①②．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考察平面向量的线性运算，考查向量共线定理的应用，考查定比分点坐标公式与等差数列的性质及基本不等式的综合应用，考查逻辑推理能力，考查转化思想，是难题．