Question

已知O为坐标原点，

OA

=（2cos²x，1），

OB

=（1，

3

sin2x+a）（x∈R，a∈R，a是常数），若y=

OA

•

OB

．
（Ⅰ）求y关于x的函数解析式f（x）；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为2，求a的值并指出f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,二倍角的余弦,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）通过向量的数量积，把

OA

，

OB

的坐标，代入函数解析式，利用向量积的运算求得函数解析式．
（Ⅱ）通过x∈[0，

π

2

]，求出相位的范围，然后求出函数的最大值，利用最大值为2，直接求得a．然后求出函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵

OA

=（2cos²x，1），

OB

=（1，

3

sin2x+a），
∴y=

OA

•

OB

=2cos²x+

3

sin2x+a，
=1+cos2x+

3

sin2x+a，
=cos2x+

3

sin2x+a+1，
=2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+a+1，
=2（sin

π

6

cos2x+cos

π

6

sin2x）+a+1，
=2sin（2x+

π

6

）+a+1．
（Ⅱ）因为x∈[0，

π

2

），所以2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

），
当2x+

π

6

=

π

2

时，sin（2x+

π

6

）=1，y_max=2+a+1=3+a，
又∵y_max=2，
∴3+a=2，
∴a=-1，
y═2sin（2x+

π

6

），
又2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，是函数的单调增区间，
函数的单调减区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．

点评：本题主要考查了三角函数的最值，二倍角的化简求值，平面向量的数量积的运算．考查了对三角函数基础知识的综合应用．