Question

在边长为 a正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD：AB的值．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：设折叠后A点落在边BC上改称P点，设∠BAP=θ，由正弦定理知：

BP

sinBAP

=

AB

sinAPB

．求出BP，在△PBD中，求出x，通过求解θ=15°时，求解

3 a

2+ 3

的最小值，即可得到AD：DB=2

3

-3．

解答： 解：按题意，设折叠后A点落在边BC上的P点，
显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，
∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AD=x，∴DP=x．在△ABC中，
∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ，
由正弦定理知：

BP

sinBAP

=

AB

sinAPB

．∴BP=

asinθ

sin(120°-θ)

在△PBD中，

DP

sinDBP

=

BP

sinBDP

，所以BP=

x•sinθ

sin60°

，从而

asinθ

sin(120°-θ)

=

xsin2θ

sin60°

，
∴x=

asinθ•sin60°

sin2θ•sin(120°-θ)

=

3 a

2sin(60°+2θ)+ 3

．
∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，
∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时，sin（60°+2θ）=1，
此时x取得最小值

3 a

2+ 3

=(2

3

-3)a，即AD最小，
∴AD：DB=2

3

-3．

点评：本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．