Question

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）判断f（x）的单调性，并证明；
（2）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用已知与增函数的定义即可得出；
（2）由于f（x）为增函数，可得f（x）的最大值为f（1）=1．f（x）≤t²-2at+1对a∈[-1，1]，x∈[-1，1]恒成立?t²-2at+1≥1对任意a∈[-1，1]恒成立?t²-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立．看作a的一次函数，即可得出．

解答： 解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₂＞x₁，则
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

•（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）是增函数．  
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t²-2at+1对a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立?t²-2at+1≥1对任意a∈[-1，1]恒成立?t²-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立．
把y=t²-2at看作a的函数，
由a∈[-1，1]知其图象是一条线段，
∴t²-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立
?

t2-2×(-1)t≥0 t2-2×1×t≥0

，解得

t≤-2或t≥0 t≤0或t≥2

解得：t≤-2，或t=0，或t≥2．

点评：本题考查了抽象函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．