Question

在△ABC中，已知tan

A+B

2

=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1②0＜sinA+sinB≤

2

③sin²A+cos²B=1④cos²A+cos²B=sin²C，其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：已知式子变形可得A+B=90°，逐个选项判定即可．

解答： 解：∵tan

A+B

2

=sinC
∴

sin A+B 2

cos A+B 2

=2sin

A+B

2

cos

A+B

2

，
整理求得cos（A+B）=0，∴A+B=90°．
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+45°）
∵45°＜A+45°＜135°，
∴

2

2

＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤

2

，②不正确；
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
∴cos²A+cos²B=sin²C，④正确．
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故③不正确．
综上知④正确
故答案为：④

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．