Question

数列{a_n}满足条件a₁=1，a_n=a_n-1+（

1

3

）^n-1（n=2，3，…）．
（1）求{a_n}；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=1，a_n-a_n-1=（

1

3

）^n-1，由此利用累加法能求出a_n．
（2）由a_n=

3

2

-

1

2•3n-1

，利用分组求和法能求出a₁+a₂+a₃+…+a_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足条件a₁=1，a_n=a_n-1+（

1

3

）^n-1（n=2，3，…），
∴a_n-a_n-1=（

1

3

）^n-1，
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=1+

1

3

+（

1

3

）²+…+（

1

3

）^n-1
=

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

2

-

1

2•3n-1

．
（2）a₁+a₂+a₃+…+a_n
=

3

2

n-

1

2

[1+

1

3

+（

1

3

）²+…+（

1

3

）^n-1]
=

3

2

n-

1

2

×

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

2

n-

3

4

-

1

4•3n-1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法和分组求和法的合理运用．