Question

已知t是实数，求函数f（x）=x²+|x-t|-1的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,压轴题,函数的性质及应用

分析：将函数化简为f（x）=

(x+ 1 2 )2-t- 5 4 ，x≥t (x- 1 2 )2+t- 5 4 ，x＜t

，分类讨论函数的最小值．

解答： 解：f（x）=x²+|x-t|-1=

(x+ 1 2 )2-t- 5 4 ，x≥t (x- 1 2 )2+t- 5 4 ，x＜t

，
①当t≥

1

2

时，
f（x）_min=f（

1

2

）=t-

5

4

，
②当-

1

2

＜t＜

1

2

时，
f（x）_min=f（t）=t²-1，
③当t≤-

1

2

时，
f（x）_min=f（-

1

2

）=-t-

5

4

，
综上所述，
f（x）_min=

t- 5 4 ，t≥ 1 2 t2-1，- 1 2 ＜t＜ 1 2 -t- 5 4 ，t≤- 1 2

．

点评：本题考查了分段函数的最小值的求法，属于中档题．