Question

20．已知函数f（x）=a^2x-2a^x+1+2（a＞0，a≠1）的定义域为x∈[-1，+∞）
（1）若a=2，求y=f（x）的最小值；
（2）当0＜a＜1时，若至少存在x₀∈[-2，-1]使得f（x₀）≤3成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=2代入函数解析式，换元后利用配方法求最值；
（2）当0＜a＜1时，令${t_0}={a^{x_0}}$，x₀∈[-2，-1]，得${t_0}∈[{a^{-1}}，{a^{-2}}]$，则问题化为至少存在${t_0}∈[{a^{-1}}，{a^{-2}}]$，使得$h（{t_0}）={t_0}^2-2a{t_0}+2≤3$成立，分离参数a后，利用函数的单调性求得答案．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=2^2x-4×2^x+2，x∈[-1，+∞）．
令${2}^{x}=t（t≥\frac{1}{2}）$，则y=g（t）=t²-4t+2，$t∈[\frac{1}{2}，+∞）$，
得y∈[-2，+∞），
∴y=f（x）的最小值是-2；
（2）当0＜a＜1时，令${t_0}={a^{x_0}}$，x₀∈[-2，-1]，得${t_0}∈[{a^{-1}}，{a^{-2}}]$，
则问题化为至少存在${t_0}∈[{a^{-1}}，{a^{-2}}]$，使得$h（{t_0}）={t_0}^2-2a{t_0}+2≤3$成立，
即$2a≥{t_0}-\frac{1}{t_0}$成立，
即$2a≥{（{t_0}-\frac{1}{t_0}）_{min}}$．
在${t_0}∈[{a^{-1}}，{a^{-2}}]$上，函数${t_0}-\frac{1}{t_0}$单调递增，${（t-\frac{1}{t}）_{min}}=\frac{1}{a}-a$，
∴$2a≥\frac{1}{a}-a$，即$3a≥\frac{1}{a}$，则$a≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴a的取值范围是$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求最值，是中档题．