Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求二面角F-DE-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面EDB．
（2）求出平面EFD的一个法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出二面角F-DE-B的正弦值．

解答 证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，如图建立空间直角坐标系，
设DC=1．…..…（1分）
连结AC，AC交BD于点G，连结EG．
依题意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．
∵底面ABCD是正方形，∴点G是此正方形的中心，
故点G（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），且$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{EG}$=（$\frac{1}{2}，0，-\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{EG}$，即PA∥EG，而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．  …（6分）
解：（2）B（1，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），
又$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），故$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{DE}$=0，∴PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD．…（7分）
∴平面EFD的一个法向量为$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1）．
$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
不妨设平面DEB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），…（10分）
设二面角F-DE-B的平面角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{1}{3}$，∴sin$\frac{2\sqrt{2}}{2}$．
∴二面角F-DE-B的正弦值大小为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$． …（13分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．