Question

9．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDD₁；
（Ⅲ）求直线PB₁与平面PAC所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD，AC交于O，连结OP，由四边形ABCD为平行四边形，推断出OD=OB，又P为DD₁的中点，可知OP∥BD₁，最后利用线面平行的判定定理推断出BD₁∥平面PAC．
（Ⅱ）由AB=AD，O为BD的中点，推断出AC⊥BD，进而根据DD₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，推断出DD₁⊥BD，利用线面垂直的判定定理证明出AC⊥平面BDD₁，进而根据面面垂直的判定定理证明出平面BDD₁⊥平面PAC；
（Ⅲ）因为PC²=2，PB₁²=3，B₁C²=5，所以△PB₁C是直角三角形．PB₁⊥PC，同理PB₁⊥PA，根据线面垂直的判定定理知PB₁⊥平面PAC．

解答 （Ⅰ）证明：设AC和BD交于点O，连PO，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=OB，
∵P为DD₁的中点，
∴OP∥BD₁，
∵OP?平面PAC，BD₁?平面PAC，
∴BD₁∥平面PAC-------------（4分）
（Ⅱ）证明：∵AB=AD，O为BD的中点，
∴AC⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴DD₁⊥BD，
∵DD₁∩DB=D，DD₁?平面BDD₁，DB?平面BDD₁，
∴AC⊥平面BDD₁，
∵AC?平面APC，
∴平面BDD₁⊥平面PAC----（8分）
（Ⅲ）解：因为PC²=2，PB₁²=3，B₁C²=5，所以△PB₁C是直角三角形．PB₁⊥PC，
同理PB₁⊥PA，所以直线PB₁⊥平面PAC，直线PB₁与平面PAC所成的角为90°---（12分）

点评 本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对基本定理的记忆和灵活运用．