Question

8．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x）+x．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出f（1）即f（-1）的值即可；
（2）令x＞0，得到-x＜0，根据函数的奇偶性求出f（x）的解析式，从而求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为f（lga）＜-2，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（1）=f（-1）=-2；
（2）令x＞0，则-x＜0，
则f（-x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+x）-x=f（x），
故x＞0时，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+x）-x，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{\frac{1}{2}}（1+x）-x，x＞0}\\{{log}_{\frac{1}{2}}（1-x）+x，x≤0}\end{array}\right.$；
故f（x）在（-∞，0]递增，在（0，+∞）递减；
（3）若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜-2，
lga＞0时，f（lga）＜f（1），则lga＞1，
lga＜0时，f（lga）＜f（-1），则lga＜-1，
故lga＞1或lga＜-1，
解得：a＞10或0＜a＜$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，是一道中档题．