Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点B在直线l：x=-1上运动，过点B与直线l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）在x轴上是否存在点N，使过点N的直线与轨迹E恒有两个交点P、Q，且满足

OP

•

OQ

=5？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题

分析：（1）由过点B与直线l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M，可知，MA=MB，所以点M的轨迹是以A（1，0）为焦点的抛物线；（2）先假设存在N（a，0），过P，Q的直线方程为x=my+a，再结合

OP

•

OQ

=5可求．

解答： 解：（1）由题意，点M的轨迹是以A（1，0）为焦点的抛物线，设方程为y²=2px（p＞0），则

p

2

=1，∴动点M的轨迹E的方程是y²=4x；
（2）设存在N（a，0），过P，Q的直线方程为x=my+a，代入y²=4x，得  y²-4my-4a=0，设P( 

y 2 1

2p

， y1)，Q(

y 2 2

2p

，y2)，则y₁y₂=4a，又

OP

•

OQ

=5，得a²+4a-5=0，解得a=1或a=-5．
经检验a=-5不满足过点N的直线与轨迹E恒有两个交点P、Q，故舍去
故a=1

点评：本题主要考查抛物线的定义，及存在性问题的探求，存在性问题通常假设存在，从而转化为封闭型问题解决．