Question

如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球，则以B₁为顶点，以球被平面ACD₁截得的圆为底面的圆锥的全面积为

 

．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：根据正方体和球的结构特征，求得球O被平面ACD₁所截得的圆的半径r，再通过利用球的性质求出O到平面ACD₁的距离d，进而求出圆锥的高，再由勾股定理求出圆锥的母线，最后利用圆锥的表面积求解即可．

解答： 解：如图，O为球心，也是正方体的中心，
设球O被平面ACD₁所截得的圆的半径为r，AC中点为M，
则r=

1

3

D₁M=

6

6

，
球的半径R=

1

2

，
则O到平面ACD₁的距离d=

R2-r2

=

3

6

，
则圆锥的高h=

3

6

+

3

2

=

2 3

3

，
故圆锥的母线长l=

r2+h2

=

6

2

故圆锥的表面积为：πr（r+h）=

6

6

（

6

6

+

6

2

）π=

2π

3

，
故答案为：

2π

3

点评：本题考查了正方体和它的内接球的结构特征、圆锥的体积，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力．