Question

已知函数f（x）=

1

2

（x-a）²+lnx（a为常数）．
（1）若函数在x=1处的切线斜率为2，求该切线的方程；
（2）当x∈（1，3）时，f（x）＞x+

1

2

a2-a-

1

2

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）若函数在x=1处的切线斜率为2，求该切线的方程；
（2）构造函数，求函数的导数，利用导数和最值之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=x-a+

1

x

，
若函数在x=1处的切线斜率为2，
则f′（1）=2，即1-a+1=2，即a=0，
又f（1）=

1

2

，
则该切线的方程为y-

1

2

=2(x-1)，
即4x-2y-3=0；
（2）令g（x）=f（x）-x-（

1

2

a2-a-

1

2

）=

1

2

x2+lnx-(a+1)x+a+

1

2

，
则g（1）=0，g′（x）=x+

1

x

-(a+1)，
令h（x）=x+

1

x

-(a+1)，
则当x∈（1，3）时，h（x）为增函数，值域为（2，

10

3

），
①当a+1≤2，即a≤1，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，3）上为增函数，则g（x）＞g（1）=0，∴a≤1成立．
②a+1≥

10

3

，即a≥

7

3

，g′（x）＜0，则函数g（x）在（1，3）上为减函数，则g（x）＜g（1）=0，
此时不满足条件．
③2＜a+1＜

10

3

，即1＜a＜

7

3

时，g′（x）=0，有两个根x₁，x₂，
其中x1=

a+1- (a-1)(a+3)

2

＜1，x2=

a+1+ (a-1)(a+3)

2

＞1，
∴g′（x）=

x2-(a+1)x+1

x

=

(x-x1)(x-x2)

x

当1＜x＜x₂时，g′（x）＜0，则函数g（x）在（1，x₂）上为减函数，则g（x）＜g（1）=0，不符号题意，
此时不成立，
综上a的取值范围为（-∞，1]．

点评：本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最值，综合性较强，运算量较大．