题目内容
在△ABC中，A，B，C分别是边a，b，c所对应的角，且cosA=
．
（Ⅰ）求sin2
+cos2A的值；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最大值．
| 4 |
| 5 |
（Ⅰ）求sin2
| A+B |
| 2 |
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最大值．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）根据二倍角的余弦公式化简sin2
+cos2A，再把cosA=
代入求值；
（Ⅱ）根据题意和余弦定理得：
bc+4=b2+c2≥2bc，求出bc 的范围，再代入三角形的面积公式求出最大值．
| B+C |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
（Ⅱ）根据题意和余弦定理得：
| 8 |
| 5 |
解答：
解：（Ⅰ）由题意得，cosA=
，且A+B+C=π，
所以sin2
+cos2A=
+cos2A
=
+2cos2A-1=
+2×(
)2-1=
…6分
（Ⅱ）由cosA=
得，sinA=
，…6分
所以S△ABC=
bcsinA=
bc…8分
又a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=4，…10分
即：
bc+4=b2+c2≥2bc，…12分
则bc≤10，
∴S△ABC=
bcsinA=
bc≤3，当且仅当b=c时等号成立…14分
则面积的最大值为3．…15分．
| 4 |
| 5 |
所以sin2
| B+C |
| 2 |
| 1-cos(B+C) |
| 2 |
=
| 1+cosA |
| 2 |
1+
| ||
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 59 |
| 50 |
（Ⅱ）由cosA=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
所以S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
又a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=4，…10分
即：
| 8 |
| 5 |
则bc≤10，
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
则面积的最大值为3．…15分．
点评：本题考查二倍角的余弦公式，余弦定理，三角形的面积公式，以及不等式的应用，属于中档题．
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