Question

设定义在R的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x）+f（-x）=0；②f（x）=-f（x+1）；③当0≤x≤1时，f（x）=2^x-1．则 f（

1

2

）+f（

3

2

）+f（2）+f（

5

2

）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：依题意，可知函数y=f（x）是以2为周期的奇函数，于是可得f（

1

2

）+f（

3

2

）+f（2）+f（

5

2

）=f（

1

2

），再利用当0≤x≤1时，f（x）=2^x-1即可求得答案．

解答： 解：∵f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），即定义在R的函数y=f（x）为奇函数，
f（0）=0；
又f（x）=-f（x+1），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函数y=f（x）是以2为周期的函数，
∴f（2）=f（0），f（

5

2

）=f（

1

2

），f（

3

2

）=f（-

1

2

）=-f（

1

2

）；
∵当0≤x≤1时，f（x）=2^x-1，
∴f（

1

2

）=

2

-1，
∴f（

1

2

）+f（

3

2

）+f（2）+f（

5

2

）=f（

1

2

）+f（-

1

2

）+f（0）+f（

1

2

）=f（

1

2

）=

2

-1．
故答案为：

2

-1．

点评：本题考查函数的奇偶性、周期性的综合应用，着重考查等价转化的思想与运算求解的能力，属于中档题．