Question

已知x、y满足条件

x+2y-9≤0 x-4y+3≤0 x≥1

，若目标函数z=ax+y取得最大值时的最优解有无数个，则实数a的值为（　　）

• A、-

  1

  2

• B、-

  1

  4

• C、

  1

  2

• D、

  1

  4

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论．

解答： 解：不等式对应的平面区域如图：
由z=ax+y得y=-ax+z，
若a=0时，直线y=-ax+z=z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．
若-a＞0，则直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时直线只在A处取得最大值，最优解只有一个，不满足条件，
若-a＜0，则直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=-ax+z与AB平行，
直线AB为y=-

1

2

x+

9

2

，直线的斜率k=-

1

2

，
此时-a=-

1

2

，解得a=

1

2

．
综上满足条件的a=-

1

2

，
故选：C．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合是解决本题的根据．