题目内容
对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0
②f（1）=1
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2） 成立则称函数f（x）为理想函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，则f（0）= ；
（Ⅱ）下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①函数f（x）=2x-1（x∈[0，1]）是理想函数；
②若函数f（x）是理想函数，假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，则f（x0）=x0．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0
②f（1）=1
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2） 成立则称函数f（x）为理想函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，则f（0）=
（Ⅱ）下列结论正确的是
①函数f（x）=2x-1（x∈[0，1]）是理想函数；
②若函数f（x）是理想函数，假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，则f（x0）=x0．
考点：函数恒成立问题
专题：新定义,函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）首先根据理想函数的概念，可以采用赋值法，可考虑取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）
+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0；
（Ⅱ）①要判断函数g（x）=2x-1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2x-1，是否满足理想函数的三个条件即可；
②由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．，根据f[f（x0）]=x0，则f（x0）=x0．
+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0；
（Ⅱ）①要判断函数g（x）=2x-1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2x-1，是否满足理想函数的三个条件即可；
②由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．，根据f[f（x0）]=x0，则f（x0）=x0．
解答：
解：（Ⅰ）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0，由已知?x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0；
（Ⅱ）①显然f（x）=2x-1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有f（x1+x2）-[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x2-1）（2x1-1）≥0
故f（x）=2x-1满足条件①②③，所以f（x）=2x-1为理想函数．
②由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；
若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．
故f（x0）=x0．
故答案为：0，①②．
即f（0）≤0，由已知?x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0；
（Ⅱ）①显然f（x）=2x-1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有f（x1+x2）-[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x2-1）（2x1-1）≥0
故f（x）=2x-1满足条件①②③，所以f（x）=2x-1为理想函数．
②由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；
若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．
故f（x0）=x0．
故答案为：0，①②．
点评：赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，函数的新定义则转化为函数性质问题，本题则结合指数函数的性质，探讨函数的函数值域，指数函数的单调性的应用等知识点．
练习册系列答案
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