题目内容
已知双曲线C与
-
=1有相同渐近线，且与x轴一个交点为（
，0）．
（1）求双曲线C方程；
（2）斜率为2的直线l被该双曲线截得弦长4，求直线L在y轴上的截距．
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 8 |
| 3 |
（1）求双曲线C方程；
（2）斜率为2的直线l被该双曲线截得弦长4，求直线L在y轴上的截距．
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）可设双曲线C：
-
=λ（λ≠0），代入点（
，0），则得λ=
，即可得到所求方程；
（2）设斜率为2的直线l：y=2x+t，联立直线方程l和双曲线C方程，消去y得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，化简计算即可求得t，得到直线方程，令x=0，即可得到纵截距．
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 8 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
（2）设斜率为2的直线l：y=2x+t，联立直线方程l和双曲线C方程，消去y得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，化简计算即可求得t，得到直线方程，令x=0，即可得到纵截距．
解答：
解：（1）由于双曲线C与
-
=1有相同渐近线，
则可设双曲线C：
-
=λ（λ≠0），
代入点（
，0），则得λ=
，
故双曲线C方程为：
-
=1；
（2）设斜率为2的直线l：y=2x+t，
联立直线方程l和双曲线C方程，消去y得，
10x2+12tx+3t2+6=0，
则有△=144t2-40（3t2+6）＞0，
x1+x2=-
，x1x2=
，
由弦长公式得，
•
=4，
即有
•
=4，
解得，t=±
，
经检验满足判别式大于0，
故直线l：y=2x±
，
令x=0，则有y=±
．
即有直线l在y轴上的截距为±
．
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 8 |
则可设双曲线C：
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 8 |
代入点（
| 3 |
| 1 |
| 4 |
故双曲线C方程为：
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
（2）设斜率为2的直线l：y=2x+t，
联立直线方程l和双曲线C方程，消去y得，
10x2+12tx+3t2+6=0，
则有△=144t2-40（3t2+6）＞0，
x1+x2=-
| 6t |
| 5 |
| 3t2+6 |
| 10 |
由弦长公式得，
| 1+22 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
即有
| 5 |
|
解得，t=±
| ||
| 3 |
经检验满足判别式大于0，
故直线l：y=2x±
| ||
| 3 |
令x=0，则有y=±
| ||
| 3 |
即有直线l在y轴上的截距为±
| ||
| 3 |
点评：本题考查双曲线的方程和性质的运用，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，得到二次方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．
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