Question

19．$\sqrt{9-{x^2}}$=-x+m方程的解恰有1个，则m的范围为$\left\{{m|-3≤m＜3或m=3\sqrt{2}}\right\}$．

Answer 1

分析 由题意：9-x²≥0，可得-3≤x≤3．设$\sqrt{9-{x^2}}$=y，则y≥0．可得x²+y²=9（-3≤x≤3，y≥0）表示圆．设y=-x+m（y≥0）∵$\sqrt{9-{x^2}}$=-x+m方程的解恰有1个．即y=-x+m与y=$\sqrt{9-{x}^{2}}$的图象只有一个交点，数形结合即可求解m的范围．

解答 解：由题意：9-x²≥0，可得-3≤x≤3．设$\sqrt{9-{x^2}}$=y，则y≥0．可得x²+y²=9（-3≤x≤3，y≥0）表示圆．
设y=-x+m（y≥0）
∵$\sqrt{9-{x^2}}$=-x+m方程的解恰有1个．即y=-x+m与y=$\sqrt{9-{x}^{2}}$的图象只有一个交点，
数形结合：
当直线过（-3，0）有一个交点，此时m=-3．
当直线与圆相切时，即圆心到直线的距离等于半径，解得m=3$\sqrt{2}$
直线过（3，0）时，恰有两个交点，此时m=3．
故得：m的范围为：-3≤m＜3或m=3$\sqrt{2}$
故答案为{m|：-3≤m＜3或m=3$\sqrt{2}$}

点评 本题考查了方程的根与函数图象的关系的应用以及数形结合法的思想．属于中档题．