Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx+cos²x-

1

2

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）把f（x）的图象向左平移

π

12

个单位，得到的图象对应的函数为g（x），求函数g（x）在[0，

π

4

]的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由倍角公式化简解析式可得f（x）=sin(2x+

π

6

)，从而可求最小正周期T；
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律先求解析式，即可求函数g（x）在[0，

π

4

]的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x
=sin(2x+

π

6

)，
∴最小正周期T=π；

（Ⅱ）依题意得：g(x)=sin[2(x+

π

12

)+

π

6

]=sin(2x+

π

3

)
∵x∈[0，

π

4

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin(2x+

π

3

)∈[

1

2

，1]，
∴g（x）的取值范围为[

1

2

，1]．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．