Question

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100]（单位：万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）若建立函数模型y=f（x）制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；
（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：（1）y=

1

20

x+1；（2）y=log₂x-2．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），由题意转化为数学语言即可；
（Ⅱ）对两个奖励函数模型：（1）y=

1

20

x+1；（2）y=log₂x-2依次检验三个条件，从而确定函数模型．

解答： 解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），
则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10，100]时，f（x）是增函数；
②当x∈[10，100]时，f（x）≤5恒成立；
③当x∈[10，100]时，f(x)≤

x

5

恒成立．

（Ⅱ）（1）对于函数模型(1)y=

1

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x+1，
它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当x=80时，y=5，因此，当x＞80时，y＞5，不满足条件②；
故该函数模型不符合公司要求．
（2）对于函数模型y=log₂x-2，它在[10，100]上是增函数．满足条件①，
x=100时y_max=log₂100-2=2log₂5＜5，即f（x）≤5恒成立．满足条件②，
设h(x)=log2x-2-

1

5

x，则h′(x)=

log2e

x

-

1

5

，又x∈[10，100]，
∴

1

100

≤

1

x

≤

1

10

，
∴h′(x)＜

log2e

10

-

1

5

＜

2

10

-

1

5

=0，
所以h（x）在[10，100]上是递减的，因此h（x）＜h（10）=log₂10-4＜0，
即f(x)≤

x

5

恒成立．满足条件③
故该函数模型符合公司要求
综上所述，函数模型y=log₂x-2符合公司要求．

点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的应用及构造函数的方法应用，属于中档题．