Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=1，

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

（n≥2，n∈N^*），其通项公式a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：把

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

变形得到

1

an+1

-

1

an

=

1

an

-

1

an-1

，说明数列{

1

an

-

1

an-1

}构成以1为公比的等比数列，求出

1

an

-

1

an-1

=

1

2

（n≥2）．说明数列{

1

an

}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公差的等差数列．然后由等差数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：由

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

，得

1

an+1

-

1

an

=

1

an

-

1

an-1

，
∵a₁=2，a₂=1，∴

1

a2

-

1

a1

=1-

1

2

=

1

2

，
∴数列{

1

an

-

1

an-1

}构成以

1

2

为首项，以1为公比的等比数列，
则

1

an

-

1

an-1

=

1

2

（n≥2）．
∴数列{

1

an

}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公差的等差数列．
则

1

an

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

．
∴an=

2

n

．
故答案为：

2

n

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系与等比关系的确定，考查了等差数列与等比数列通项公式的求法，是中档题．