Question

某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生    在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．
（1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；
（2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是

4

5

，自然科学课程的概率都是

3

4

，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，由对立事件概率计算公式能求出该同学至少选修1门自然科学课程的概率．
（2）随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

解答： 解：（1）记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，
则P(A)=1-

C 3 4

C 3 8

=1-

1

14

=

13

14

，…（2分）
所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为

13

14

．…（3分）
（2）随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3．…（4分）
因为P(ξ=0)=

1

5

×(

1

4

)2=

1

80

，P(ξ=1)=

4

5

×(

1

4

)2+

1

5

×

C

1 2

×

1

4

×

3

4

=

1

8

，P(ξ=2)=

4

5

×

C

1 2

×

1

4

×

3

4

+

1

5

×(

3

4

)2=

33

80

，P(ζ=3)=

4

5

×(

3

4

)2=

9

20

，…（8分）
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 80	1 8	33 80	9 20

所以E(ξ)=0×

1

80

+1×

10

80

+2×

33

80

+3×

36

80

=2.3．…（10分）

点评：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．