Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0），直线l：y=x+1与抛物线C交于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k₁．k₂（其中O为坐标原点），且k₁•k₂=-

1

4

．
（1）求p的值；
（2）如图，已知点M（x₀，y₀）为圆：x²+y²-y=0上异于O点的动点，过点M的直线m交抛物线C于E，F两点．若M为线段EF的中点，求|EF|的最大值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线l：y=x+1，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合k₁•k₂=-

1

4

，求p的值；
（2）直线m：y=k（x-x₀）+y₀，代入x²=4y可得x²-4kx+4kx₀-4y₀=0，求出|EF|，利用基本不等式，即可求|EF|的最大值．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l：y=x+1，代入抛物线方程可化为x²-2px-2p=0，∴x₁x₂=-2p，
∴k₁•k₂=

x1x2

4p2

=-

1

2p

=-

1

4

，
∴p=2；
（2）设E（x₃，y₃），F（x₄，y₄），直线m：y=k（x-x₀）+y₀，
代入x²=4y可得x²-4kx+4kx₀-4y₀=0，
∴x₃+x₄=4k=2x₀，
∴k=

1

2

x₀，
∴x²-2x₀x+2x₀²-4y₀=0，
△=16y₀-4x₀²，
∴|EF|=

1+k2

|x₃-x₄|=

(4+x02)(4y0-x02)

，
∵x₀²+y₀²-y₀=0，
∴|EF|=

(4+y0-y02)(3y0+y02)

≤

(4+y0-y02)+(3y0+y02)

2

=2+2y₀≤4，
当且仅当y₀=1时，|EF|的最大值为4．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．