题目内容

已知函数f（x）=（1-tan
x
2
）[1+
2
sin（x+
π
4
）]．
（1）求f（
π
6
）的值；
（2）若2sinα+f（α）=
4
3
，求
2
sin(2α-
π
4
)+1
1+tanα
的值．
考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用
专题：三角函数的求值
分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2cosx，从而可求f（
π
6
）的值．
（2）由（1）及2sinα+f（α）=
4
3
可得sinα+cosα=
2
3
，两边平方可解得：sin2α=-
5
9
，从而化简
2
sin(2α-
π
4
)+1
1+tanα
=
sin2α-cos2α+1
1+tanα
=sin2α，即可得解．
解答： 解：（1）∵f（x）=（1-tan
x
2
）[1+
2
sin（x+
π
4
）]=（1-tan
x
2
）（1+sinx+cosx）=2cosx，
∴f（
π
6
）=2cos（
π
6
）=
3
．
（2）∵2sinα+f（α）=
4
3
，即有：2sinα+2cosα=
4
3
，
∴sinα+cosα=
2
3
，
∴两边平方可得：1+sin2α=
4
9
，可解得：sin2α=-
5
9
，
∴
2
sin(2α-
π
4
)+1
1+tanα
=
sin2α-cos2α+1
1+tanα
=sin2α=-
5
9
．
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，同角三角函数基本关系的运用，考查了万能公式的应用，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
相关题目
已知四边形ABCD是矩形，BC=kAB（k∈R），将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O．
（1）若点O恰好落在边AD上，
①求证：AB1⊥平面B1CD；
②若B1O=1，AB＞1．当BC取到最小值时，求k的值
（2）当k=
3
时，若点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），求二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围．
若集合A={x|x∈R|ax2+ax+1=0}有两个元素，则a的范围
 
．
利用柯西不等式证明平方平均不等式．
设a1、a2、…，an∈R+，则
a1+a2+…+an
n
≤
a12+a22+…+an2
n
．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．
（1）求证：AD⊥平面PQB；
（2）若PM=
1
3
PC，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．
△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量
m
=（2，-1），
n
=（sinBsinC，
3
+2cosBcosC），且
m
⊥
n
．
（1）求角A的大小．
（2）现给出以下三个条件：①B=45°；②2sinC-（
3
+1）sinB=0；③a=2．试从中再选择两个条件以确定△ABC，并求出所确定的△ABC的面积．
已知抛物线C：x2=2py（p＞0），直线l：y=x+1与抛物线C交于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1．k2（其中O为坐标原点），且k1•k2=-
1
4
．
（1）求p的值；
（2）如图，已知点M（x0，y0）为圆：x2+y2-y=0上异于O点的动点，过点M的直线m交抛物线C于E，F两点．若M为线段EF的中点，求|EF|的最大值．
已知向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（cosx，sinx-2cosx），f（x）=
a
•
b
．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设0≤x≤
π
2
，①若
a
⊥
b
，求x；②求f（x）的值域．
如图所示，正方形ABCD边长为2，圆D的半径为1，E是圆D上任意一点，则
AE
•
CE
的最小值为（　　）
A、1+2
2
B、-1-2
2
C、1-
2
D、1-2
2

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