Question

（1）设函数F（x）=（-x²-2x-1）e^-x，x∈R．求函数F（x）的单调递减区间；
（2）证明函数f(x)=

∫

x -x

(ex+e-x)dx在R上是增函数．

Answer 1

考点：定积分,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，由导函数小于0求解x的取值集合即可得到函数F（x）的单调递减区间；
（2）由微积分基本定理求出f（x），再由f（x）的导函数恒大于0证明函数f(x)=

∫

x -x

(ex+e-x)dx在R上是增函数．

解答： （1）解：由F（x）=（-x²-2x-1）e^-x，x∈R，得
F'（x）=（-x²-2x-1）′e^-x+（-x²-2x-1）（e^-x）′
=（-2x-2）e^-x-（-x²-2x-1）e^-x
=e^-x（x²-1），
令F'（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴函数F（x）的单调递减区间为（-1，1）；
（2）证明：∵f(x)=

∫

x -x

(ex+e-x)dx=(ex-e-x

)|

x -x

=2（e^x-e^-x），
∴f′（x）=2（e^x+e^-x）＞0．
∴函数f(x)=

∫

x -x

(ex+e-x)dx在R上是增函数．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了定积分，关键是明确导函数的符号与原函数单调性之间的关系，是中低档题．