Question

空气质量指数PM2.5（单位：μg/m³）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

PM2.5日均浓度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	＞250
空气质量类别	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所示．
（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；
（2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图

专题：概率与统计

分析：（1）由茎叶图求出甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数，由此能估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数．
（2）由题意知X的取值为0，1，2，分别求出相对应的概率，从而能求出X的分布列及数学期望．

解答： 解：（1）由茎叶图知：甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．…（1分）
所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…（2分）
（2）由题意知X的取值为0，1，2，…（3分）
因为P(X=0)=

C 0 5 C 2 10

C 2 15

=

3

7

，…（5分）
P(X=1)=

C 1 5 C 1 10

C 2 15

=

10

21

，…（7分）
P(X=2)=

C 2 5 C 0 10

C 2 15

=

2

21

．…（9分）
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	3 7	10 21	2 21

所以数学期望EX=0×

3

7

+1×

10

21

+2×

2

21

=

2

3

．…（12分）

点评：本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型，是中档题．