Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求异面直线EB与AC所成角的余弦值；
（2）求直线EB和平面ABC的所成角的正弦值．
（3）求点E到面ABC的距离．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出

EB

=（2，-1，0），

AC

=（0，2，-1），利用计算cos＜

EB

，

AC

＞，可得异面直线EB与AC所成角的余弦值；
（2）求出平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EB和平面ABC的所成角的正弦值．
（3）利用E点到面ABC的距离d=

| EC • n |

| n |

=

1

6

=

6

6

，即可求点E到面ABC的距离．

解答： 解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）
∴

EB

=（2，-1，0），

AC

=（0，2，-1）
∴cos＜

EB

，

AC

＞=

-2

5 • 5

=-

2

5

              …（4分）
∴异面直线EB与AC所成角的余弦值为

2

5

…（5分）
（2）设平面ABC的法向量为

n1

=（x，y，z），则

2x-z=0 2y-z=0

，∴可取

n1

=（1，1，2），…（7分）
∴cos＜

EB

，

n1

＞=

2-1+0

5 6

=

30

30

，…（8分）
故BE和平面ABC的所成角的正弦值为

30

30

…（9分）
（3）E点到面ABC的距离d=

| EC • n |

| n |

=

1

6

=

6

6

∴E点到面ABC的距离为

6

6

…（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查异面直线所成角，线面角，考查点到面的距离，正确运用公式是关键．