Question

已知，如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，且PG=4，AG=

1

3

GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中点．
（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（2）求DG与平面PBG所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）以G点为原点建立空间直角坐标系G-xyz，求出

GE

=(1，1，0)，

PC

=(0，2，-4)，利用向量的夹角公式，即可求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（2）求出平面PBG的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求DG与平面PBG所成角的大小．

解答： 解：（1）如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系G-xyz，则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）
故E（1，1，0），∴

GE

=(1，1，0)，

PC

=(0，2，-4)，
∴cos＜

GE

，

PC

＞=

GE • PC

| GE |•| PC |

=

2

2 • 20

=

10

10

，
∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为

10

10

；---（6分）
（2）

GD

=

3

4

BC

=(-

3

2

，

3

2

，0)，

GB

=(2，0，0)，

GP

=(0，0，4)，
设平面PBG的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

2x=0 4z=0

，可得

n

=（0，1，0）
设DG与平面PBG所成角为α，则sinα=|cos＜

GD

，

n

＞|=

3 2

9 2 •1

=

2

2

，
∴α=45°，即DG与平面PBG所成角为45°．

点评：本题考查空间角，考查向量知识的运用，正确运用向量的夹角公式是关键．