Question

15．如果曲线2|x|-y-4=0与曲线x²+λy²=4（λ＜0）恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是[-$\frac{1}{4}$，0）．

Answer 1

分析 去绝对值可得x≥0时，y=2x-4；当x＜0时，y=-2x-4，数形结合可得曲线必相交于（±2，0），分别联立方程结合一元二次方程根的分布可得．

解答 解：由2|x|-y-4=0可得y=2|x|-4，
当x≥0时，y=2x-4；当x＜0时，y=-2x-4，
∴函数y=2|x|-4的图象与方程x²+λy²=4的曲线必相交于（±2，0）
∴为了使函数y=2|x|-4的图象与方程x²+λy²=1的曲线恰好有两个不同的公共点，
则y=2x-4代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+4λ）x²-16λx+16λ-4=0，
当λ=-$\frac{1}{4}$时，x=2满足题意，由于△＞0，2是方程的根，∴$\frac{16λ-4}{1+4λ}$＜0，
解得-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{1}{4}$时，方程两根异号，满足题意；
y=-2x-4代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+4λ）x²+16λx+16λ-4=0
当λ=-$\frac{1}{4}$时，x=-2满足题意，由于△＞0，-1是方程的根，∴$\frac{16λ-4}{1+4λ}$＜0，
解得-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{1}{4}$时，方程两根异号，满足题意；
∵λ＜0，∴实数λ的取值范围是[-$\frac{1}{4}$，0）．
故答案为[-$\frac{1}{4}$，0）．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查分类讨论的数学思想和不等式的解法以及数形结合，属中档题．