Question

3．已知函数$f（x）={sin^2}ωx+\sqrt{3}sinωxcosωx-\frac{1}{2}（ω＞0）$的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求得函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．

解答 解：（1）$f（x）={sin^2}ωx+\sqrt{3}sinωxcosωx-\frac{1}{2}（ω＞0）$=$\frac{1-cos2ωx}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）$．
因为函数f（x）的最小正周期为π，所以$\frac{2π}{2ω}=π$，得ω=1．
（2）由（1）可得，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），把函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后，
得到y=g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
当k=0时，$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{6}$；
当k=1时，$\frac{2π}{3}≤x≤\frac{7π}{6}$．
所以函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为$[0，\frac{π}{6}]，[\frac{2π}{3}，π]$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．