Question

10．在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点，点P在AC上，且AP=$\frac{1}{3}$AC．
（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面AOF；
（Ⅱ）求证：BP∥平面AOF．

Answer 1

分析 （I）连结BD，由菱形性质得出CE⊥BD，又AO⊥平面BCDE，故AO⊥CE，由中位线性质得BD∥EF，故而CE⊥平面AOF，所以平面AOF⊥平面ACE；
（Ⅱ）设CE 与BD，OF 的交点分别为M，N，连结AN，PM．则当平面BPM∥平面AOF时，BP∥平面AOF．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD，因为四边形BCDE 为菱形，
所以CE⊥BD．
因为O，F 分别为BE，DE 的中点，
所以OF∥BD，所以CE⊥OF．
由（Ⅰ）可知，AO⊥平面BCDE．
因为CE?平面BCDE，所以AO⊥CE．
因为AO∩OF=O，所以CE⊥平面AOF．
又因为CE?平面ACE，
所以平面AOF⊥平面ACE．
（Ⅱ）设CE 与BD，OF 的交点分别为M，N，连结AN，PM．
因为四边形BCDE 为菱形，O，F 分别为BE，DE 的中点，
所以$\frac{NM}{MC}$=$\frac{1}{2}$．
设P为AC上靠近A点的三等分点，
则$\frac{AP}{PC}$=$\frac{NM}{MC}$=$\frac{1}{2}$，所以PM∥AN．
因为AN?平面AOF，PM?平面AOF，所以PM∥平面AOF．
由于BD∥OF，OF?平面AOF，BD?平面AOF，
所以BD∥平面AOF，即BM∥平面AOF．
因为BM∩PM=M，
所以平面BMP∥平面AOF．
因为BP?平面BMP，所以BP∥平面AOF．

点评 本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题．