Question

20．如图所示，已知ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AD=2AB=2BC，PA⊥面ABCD．
（I）证明：PC⊥CD；
（II）在线段PA上确定一点E，使得BE∥面PCD．

Answer 1

分析 （I）取AD的中点F，连接CF，证明：CD⊥面PAC，即可证明PC⊥CD；
（II）取线段PA的中点E，可使得BE∥面PCD．

解答 证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连接CF，
∵BC∥AF，BC=AF，∴ABCF为平行四边形，------（1分）
∵AB=BC，∠BAD=90°，
∴ABCF为正方形，-------------------------（2分）
设AB=1，则BC=1，AD=2，
∴$AC=\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{2}$，∴AC²+CD²=AD²，
∴AC⊥CD，-------------------------------（3分）
∵PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵PA与AC相交，PA?面PAC，AC?面PAC，
∴CD⊥面PAC，-------------------------------------（5分）
∵PC?面PAC，
∴PC⊥CD．-----------------------------------------（6分）
（Ⅱ）取线段PA的中点E，可使得BE∥面PCD．
取PD的中点M，连接ME，MC，---------------（7分）

∴$ME∥AD，ME=\frac{1}{2}AD$，-----------------------（8分）
∵$BC∥AD，BC=\frac{1}{2}AD$，
∴BC∥ME，BC=ME，-------------------------（9分）
∴BCME为平行四边形，
∴BE∥CM，---------------------------（11分）
∵CM?面PCD，BE?面PCD，
∴BE∥面PCD．--------------------------------（12分）

点评 本题考查线面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．