Question

6．在正项等比数列{a_n}中，若a₄+a₃-2a₂-2a₁=6，则a₅+a₆的最小值为48．

Answer 1

分析 设 a₂+a₁=x，等比数列的公比为q，则a₄+a₃ =xq²，a₅+a₆ =xq⁴，由此推导出a₅+a₆ =6（ q²-2+$\frac{4}{{q}^{2}-2}$+4 ），由此利用均值定理能求出a₅+a₆的最小值．

解答 解：设 a₂+a₁=x，等比数列的公比为q，则a₄+a₃ =xq²，a₅+a₆ =xq⁴．
再由a₄+a₃-2a₂-2a₁=6，
得 xq²=6+2x，∴x=$\frac{6}{{q}^{2}-2}$＞0，q＞1．
∴a₅+a₆ =xq⁴ =$\frac{6{q}^{4}}{{q}^{2}-2}$
=6•$\frac{{q}^{4}}{{q}^{2}-2}$=6（ q²+2+$\frac{4}{{q}^{2}-2}$）=6（ q²-2+$\frac{4}{{q}^{2}-2}$+4 ）≥6（4+4）=48，
当且仅当q²-2=2时，等号成立，
故a₅+a₆的最小值为48．
故答案为：48．

点评 本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、均值定理的合理运用．