Question

偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若不等式f（ax-1）＜f（2+x²）恒成立，则实数a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据偶函数图象关于y轴对称，得f（x）在[0，+∞）上单调增，且在（-∞，0]上是单调减函数，由此结合2+x²是正数，将原不等式转化为|ax-1|＜2+x²恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．
∴f（x）在（-∞，0）上的单调性与[0，+∞）的单调性相反，可得f（x）在（-∞，0]上是减函数．
∴不等式f（ax-1）＜f（2+x²）恒成立，等价于|ax-1|＜2+x²恒成立，
即不等式-2-x²＜ax-1＜2+x²恒成立，整理得

x2+ax+1＞0 x2-ax+3＞0

的解集为R，
∴结合一元二次方程根的判别式，得：a²-4＜0且（-a）²-12＜0，
解之得-2＜a＜2；
故答案为：-2＜a＜2．

点评：本题给出偶函数的单调性，解决关于x的不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识．